Kuantum Mekaniği

Kuantum Mekaniğinin Temel Olgularının Matematiksel Yapısı ve Genel bir İncelemesi [Flood]

• Kuantum mekaniği hakkında çoğumuz ‘meraklı’ statüsünde az çok bir şeyler okumuş ve teorinin belli başlı olguları hakkında fikir sahibi olmuşuzdur. Ve yine çoğumuzun kanaatidir ki; burası çok tuhaf bir dünyadır.
• Tuhaf bir dünyadır ve bazı tuhaflıklar hakkında belki fiziksel anlamda çok doyurucu açıklamalar yapamıyor olsak da -bunu kimse yapamıyor olsa da- onları en azından matematiksel tutarlılık içinde soyutlama becerisi gösterebildik.
• Dolayısıyla bu zincirde Kuantum Mekaniğinin belli başlı olgularını ağırlıklı olarak matematiksel bir çerçevede işlemek istedim. Konunun ‘fiziği’ hakkında da elbette konuşacağız ama muhakkak boşluklar olacak, ki; onları da doldurmayı size bırakacağım.
• İşin -eğer ilgilenecekseniz- felsefi kısmı ise tamamen sizde; oraya hiç girmeyeceğim. Konu bütünlüğünü bozmadan gitmek herkes için daha iyi olacaktır.
• Şimdi, işe girişmeden öncelikle kafanızda belirmiş olan şu soruyu cevaplayalım: “Matematik derken, ne düzeyde bir matematik? Ne bilmem gerekiyor? Bilmediğimi varsayalım, bu zinciri okumamı tavsiye eder misiniz?”
• Matematik düzeyiniz en az orta-şekerli olmalı; mesela doğrusal cebir (özellikle vektör uzayları), kalkülüs ve kompleks analizin en temel kavram, tanım ve teoremlerini biliyor olmalısınız.
• Bilmiyor musunuz? O zaman şunu sorun kendinize: “Yine de öğrenmeye isteğim, buna ayıracak zamanım ve enerjim var mı?” Evet diyorsanız, benimlesiniz. Sırası geldikçe o konu hakkında matematiksel altyapınızı güçlendirin. Hayır diyorsanız, o zaman sizinle yolumuz ayrılıyor. Artık başlayabiliriz.
• 1. bölümde spin tabanlı iki durumlu basit bir kuantum sisteminin (kübit) ölçümü, basit kuantum hipotezlerin sınanması, Dirac notasyonu ve spin kuantum durumlarının temsili olmak üzere 4 başlık açıyoruz.

“Bir kübiti ölçmek”

• Ancak ve ancak iki durum ile sınırlı yani durum uzayı 2 olan basit bir kuantum sistemine kübit diyelim. Klasik mekanikte benzeri madeni paradır: paranın durum uzayı {T} ve {Y} elemanlarını içerir ve bu anlamda bir klasik bit’tir.
• İster bir klasik bit, ister bir kübit; üzerinde yapılacak bir ölçüm, durum uzayındaki elemanlardan yalnızca biri ile sonuçlanır. Yani ölçüm, -para için- {Y} veya {T} ile sonuçlanır her ikisi ile birden asla değil.
• Şimdi güzel bir kübit adayı seçelim kendimize, mesela elektronun spini. Spinin ne olduğunu tamamen boş verelim, onu çok ileride inceleyeceğiz zaten. Şimdilik sadece şunu bilelim; spinin yönelimi ya yukarıdır (u) ya da aşağı (d)
• Şimdi matematiksel açıdan kolaylık sağlasın diye (u) spini için (+1), (d) spini için (-1) değerlerini atayalım. O halde kübitimizin durum uzayı; σ=+1 ya da σ=-1
• Yukarıdaki işlemin tam tersini de yapabilirdim, misal (u) için (-1) atayabilirdim bu hiçbir şeyi değiştirmezdi. Bu sadece ne hakkında konuştuğumuz konusunda karşılıklı bir uzlaşı. Bu tür uzlaşılara ara ara başvuracağız.
• Bir Spin-ölçerimiz (SÖ) olsun ve içinde de bir kübit olsun. SÖ’in hayali iç eksenini (mavi ok) 3-uzayın z ekseniyle eşleştirelim. Dikkat ederseniz sizinle yine bir uzlaşı yapmaktayım. İsteseydim y veya x ekseniyle veya ara bir eksenle de eşleştirebilirdim, bir önemi yok.

• Şimdi bu durumda iken SÖ’den bir ölçüm alalım ve ekranda yazan şeyi okuyalım: σ = +1 Yani spin yukarı. Aşağı da olabilirdi ama ne önemi var ki? Ölçüm bu.
• SÖ’e hiç dokunmaksızın aynı konumda defalarca üst üste ölçüm yapsanız da σ = +1 sonucu değişmez. Burada şaşırılacak hiç bir şey yok. Devam edebiliriz.
• Şimdi kübite dokunmaksızın (o hâlâ yukarı spin) SÖ’i z-x ekseni düzleminde 90 derece açıyla yatıralım, yani SÖ’in iç ekseni şu anda x ekseni doğrultusunda. Kübiti rahatsız etmeden yaptık bunu.

• Spin denen şeyi eğer uzayda klasik bir vektör ile temsil ediyor olsaydık, kübitin spininin x eksenindeki bileşenini 0 bulurduk çünkü z ekseni boyunca yönlenmiş bir vektörün ona dik yatay bileşeni cos90=0 çarpanını suratının ortasına yer ve sonuç kesinlikle sıfırdır.
• Ancak, SÖ’den kübitin x doğrultusunda alacağımız ölçümlerin sonuçlarının σ = +1 ya da σ = -1 olduğunu biliyorduk? Nasıl 0 olabilir? Haklısınız, zaten ekranda da bu değerlerden başka bir değer okumamız mümkün olmuyor. Kısaca, spin vektörse de, klasik değil.
• Ancak hâlâ ‘klasik’ bir şey var: z ekseninde +1 olarak kurulmuş bir SÖ’i x eksenine yöneltip ölçüm alalım ve bunu defalarca baştan ve baştan yapalım. Sonuçlar rastgele bir +1 ve -1 dizisi oluşturur ve bunların da istatistiksel ortalaması sıfırdır!
• Daha genelleştirecek olursak, rastgele â yönünde +1 spin ile hazırlanmış SÖ, θ derece yatırılıp ê yönünde ölçüm alındığında, ve bu işlem adımları defalarca tekrar edildiğinde, ê yönünde alınan sonuçların istatistiksel ortalaması cosθ değerine yakınsar.

• Matematiksel olarak cosθ değeri, â ile ê birim vektörlerinin skaler çarpımına eşit olup istatistiksel ortalama ile birlikte olan ilişkisini aşağıdaki denklemle veriyoruz.

• Denklemi somutlaştıralım; SÖ, z ekseninde +1 hazırlanır ve kübit tedirgenmeden SÖ x eksenine (90 der.) yatırılıp bir ölçüm alınır. Bu işlem N=100 kez yapılsın. O halde; cos90 = 0 ≈ (1/100)∑σi Dolayısıyla ∑σi≈0 olur >>>
• Şimdi diyelim ki ölçümlerden x tanesi σ=+1. O halde 100-x tanesi σ=-1 olur. Bu durumda toplamımızı x(+1) + (100-x)(-1) = 0 şeklinde yazabiliriz. Sonuç x=50 çıkar. Yani x eksenindeki 100 ölçümün 50 tanesi +1, 50 tanesi -1 beklenir. Böylece ortalama 0 olur.
• Alıştırma-1: SÖ z ekseninde +1 hazırlanıyor ve kübit tedirgenmeksizin SÖ 180 der. döndürülüp ölçüm alınıyor. N=50 için beklenen sonuç nedir?
• Buraya kadar iyi anlaştık diye düşünüyorum. Kübit ölçümlerimize devam edelim. SÖ yine z ekseninde +1 hazırlandıktan sonra (yani kübitin z’deki spin bileşeni ‘yukarı’ iken) SÖ’i x eksenine yatırıp bir ölçüm alalım. Sonucun 1/2 ihtimalle +1, 1/2 ihtimalle -1 olacağı aşikar.
• Diyelim ki, spin’in x bileşeni -1 ölçülmüş olsun. Açıklık için tekrar edeyim; SÖ kübiti z ekseninde +1 (yukarı) ve x ekseninde -1 (aşağı) ölçtü. Şimdi SÖ’i kübitin son ölçümünü bozmadan yeniden z eksenine çevirelim ve yeni bir ölçüm alalım. Sonucun ne olmasını beklersiniz?
• Diyeceksiniz ki, SÖ z ekseninde başlangıçta +1 hazırlanmıştı, x ekseninde bir ara ölçüm yaptık, sonra tekrar z eksenine (ilk duruma) döndük, ara ölçüm z bileşenini etkilemeyeceği için sonuç yalnızca +1 olmalıdır. mı acaba?
• İşte burada sizi kuantum dünyasının ilk ‘tuhaflığı’ ile tanıştırıyorum: z eksenindeki ikinci ölçümde sonuç +1 ya da -1 olarak karşımıza çıkıyor. Yani, kübitin farklı bir eksendeki ara ölçümü, önceki eksendeki mutlak ölçümümüzü belirsiz hale getirmiştir.
• Şöyle de yorumlayabilirsiniz; bir kübitin iki farklı eksendeki spin bilgisine aynı anda sahip olmanız asla mümkün değildir. Her yapılan ölçüm, bir başka eksende yapılmış bir önceki ölçümün sonucunu ‘belirsiz’ hale getirir.
• Bu deneyin bize anlattığı, bir kuantum sisteminin iki farklı yüzünü aynı anda size göstermeyeceğidir. Ölçüm, aslolanın ancak ve ancak tek bir yüzünü gösterir ve asla başka ölçümlerle daha fazlasını bilmenize imkan tanınmaz.
• Bir ölçümün, diğer tüm olası durumları nasıl yerle bir ettiğini matematiksel olarak da ifade edeceğiz, aynı zamanda tüm olasılıkları da matematiğe dökeceğiz ama bunu bu bölümün son kısmında yapacağız. Dirac notasyonundan hemen sonra.
• Ama bunlara geçmeden önce önemli bir alt başlığı daha incelemek zorundayız; kuantum dünyasını klasik mantık önermeleri açıklamak mümkün müdür? ‘Kuantum mantık’ var mıdır?
• “Mantık bunun neresinde?” Klasik veya sembolik mantığın temeli Aristoteles’e dayanır. Üç temel ilke üzerine inşa edilmiştir. Bunları hızlıca gözden geçirelim.
• Özdeşlik ilkesi: A→A veya A≡A şeklinde sembolize ediyoruz. Yani, A önermesi doğruluk değeri anlamında kendisine denktir. Başka deyişle, A ise, o zaman A’ dır. Kendine olan denklikten daha tutarlı ne düşünülebilir değil mi?
• Çelişmezlik ilkesi: A bir önerme ve A’ bu önermenin ‘değil’i olsun. Özdeşlik ilkesinden dolayı A yalnızca kendine denk olduğundan A’ ile denk olamaz, onu dışlar. O halde A∧A’ ifadesi daima bir çelişki olacağından (A∧A’)’≡ A’∨A daima doğrudur.
• Somut bir örnek verelim. A(x): x vardır ise, A’(x): x var değildir (yani x yoktur) demektir. O zaman Çelişmezlik ilkesi gereği bir y elemanı için A(y) ile A’(y) önermelerinin birlikte geçerli olması mümkün değildir.
• Üçüncü hâlin imkânsızlığı: A(i) bir açık önerme olsun. Her i için ya A(i) ya da A’(i) geçerlidir. Başka (üçüncü) bir ihtimal yoktur. Örnek: A(i): i bitkidir olsun. i değişkeni yerine ne koyarsanız koyun, A(i) size doğru veya yanlıştan başka bir çıktı vermez.
• Gördüğünüz gibi son ilke, ikili (Binary) bir duruma endeksli: Doğru(1) veya Yanlış(0) Matematikte kullanılan Olmayana Ergi (Çelişkiye İndirgeme) İspatı bu ilkeyi temel alır.
• P: ‘Sonsuz asal vardır’ önermesine bakalım. P nin doğruluğunu göstermektense P’: ‘sonlu sayıda asal vardır’ önermesinin yanlışlığını göstermek daha kolaydır. Ne oldu? P’yanlış. O halde üçüncü durum olanaksız olduğuna göre P doğru deriz.
• Şu ince ve çok derin ayrımı kaçırmayın; biz aslında P’ yanlıştır (0) sonucuna vardık, P hakkında hiçbir şey söylemedik. Ama sembolik mantığın binary yapısından dolayı P doğrudur (1) çıkarımı yaptık. Üçüncü bir olasılık mümkün değil çünkü.
• Şimdi kübitimize geri dönelim. Spin yönelimi durum uzayı {+1, -1} yani {u, d} olduğunu biliyoruz. Her ölçüm bu iki durumdan yalnızca biri ile sonuçlanıyordu, bunu da biliyoruz. O halde kübitin durum uzayını, klasik mantık işlemleri ile temsil edebilir miyiz?
• Şöyle ilk bakışta “neden olmasın?” dedirtiyor. Kübit ölçümlerimiz binary, e klasik mantık zaten binary, o zaman sorun yok! Diyorsanız, hâlâ nasıl bir diyarda olduğunuzun farkında değilsiniz demektir.
• Klasik mantıkta AvB önermesi BvA önermesine denktir. Yani ‘veya’ bağlacı komütatif (değişmeli) bir işlemcidir. İster önce A sonra B önermesini sınayın, ister önce B sonra A önermesini sınayın, AvB ≡ BvA geçerlidir.
• Şimdi kemerlerinizi bağlayın ve aşağıdaki önermeleri inceleyerek dikkatlice takip edin; A: σz +1 (u) dir. B: σx +1 (u) dir. önermeleri verilsin. SÖ cihazı ile AvB ile BvA bileşik önermelerini test edeceğiz.
• σz=+1 olan bir ölçüm yaptığımı farz edelim yani önce A önermesini sınadık ve doğru çıktı. O halde σx ölçümüne gerek kalmaksızın AvB doğru olur.
• Şimdi kübitin durumunu hiç bozmadan, sırf eğlence olsun diye SÖ’in iç eksenini x ekseni ile çakışacak şekilde 90 der. yatırıp bir ölçüm alıyoruz (B önermesini sınıyoruz). Biliyoruz ki sonuç; σx=+1 veya σ=-1 olacaktır. Eğer σx=-1 çıkarsa B yanlış demektir.
• Korkunun ecele faydası yok, diyelim ki σx=-1 çıktı. O halde BvA önermesinin doğru olabilmesi için tekrar z eksenine dönüp oradan σz=+1 sonucunu almamız gerek. Çünkü BvA önermesinin kaderi buna bağlı.
• SÖ’i tekrar z ekseni ile çakıştırıp ölçüm aldığımızda iki farklı durumla karşı karşıya kalıyoruz: σz=-1 veya σz=+1 Bu sınama bize BvA önermesinin %25 ihtimalle yanlış olduğunu ortaya koyuyor. Mantık bunun neresinde?!
• AvB doğru idi. BvA için olasılıklar şunlar; (σx, σz)={(+1,+1), (+1,-1), (-1,+1), (-1,-1)} Dolayısıyla 4 durumdan bir tanesi BvA önermesini yanlış kılıyor, yani %25 olasılıkla BvA yanlış, hem de AvB %100 doğru olmasına rağmen!
• Daha önce görmüştük ki, bir kuantum sisteminin aynı anda iki farklı yüzünü ‘kesin’ olarak bilmemize imkân yoktu. Şimdi ulaştığımız sonuç ise o sistem hakkında ardışık bir ölçümle edindiğimiz iki farklı bilginin sıra-bağımlı (non-commutative) olduğu!
• Düşünün, bir nesnenin doğasına dair ardarda iki bilgi ediniyorsunuz. Son edindiğiniz bilgi, ilk edindiğiniz bilginin canına okuduğu (onu belirsizleştirdiği) yetmiyormuş gibi bir de diyor ki ‘eğer ölçümü tersinden yapsaydın beni farklı bir değerde bulabilirdin.
• Sanırım özdeşlik ilkesini çiğneyip attığımızı görmüşsünüzdür: Klasik mantığa göre denk önermeler kuantum diyarında denkliğini yitirir, özdeşlik ortadan kalkar. İleride, klasik mantığın ikinci ve üçüncü ilkelerinin de Kuantum diyarında hükmünü yitirdiğini göstereceğiz.
• Peki Kuantum mekaniğinde olan biteni klasik mantık ile açıklamak mümkün değilse, onu nasıl açıklayacağız? Bir kuantum hipotez oluşturulabilir mi? Buna uygun bir mantık sistemi kurgulanabilir mi? Cevap için henüz erken. Bu koca diyarda daha pek bir şey görmedik.
• Mantığını şimdilik bir kenara bıraktık ama bu çetrefilli durumu matematiksel olarak nasıl kurgulayacağımızı şükürler olsun ki bulduk ve işe de yarıyor. Bu matematiksel kurgulardan ilkini takdim edeceğim sizlere.

Dirac Gösterimi

• Klasik mekanikte bir sistemin herhangi bir anda durumunu faz uzayında bir nokta ile gösteririz. Nokta küçüktür ama boyundan büyük iddiaları vardır: Size en az iki değişken hakkında ‘net’ bir bilgi sunar. Ve faz uzayının boyutuna bağlı olarak daha fazlasını.
• Biraz bu konuyu kurcalayarak ilerlemekte fayda var. Klasik mekanikte bir sistemin faz uzayı, seçilmiş parametreler özelinde sistemin olası tüm durumlarını içeren bir ‘durumlar uzayı’dır. Herhangi bir andaki durum, burada bir nokta ile temsil edilir.
• Eğer sistem ve onun çevresi hakkında yeterli ve yeterince hassas bilgilere sahipsek, sistemin rotasını tahmin edebiliriz. Bu rota, bir noktalar kümesidir.
• Klasik bir obje olan tavla zarını havaya attığımızı düşünelim. Eğer bir yığın parametre hakkında detaylı ve hassas bilgilere sahip olursak, zarın kaç geleceğini ‘biliriz’. Evet, belki yine de zor olacağını düşünebilirsiniz ama klasik mekanik ilke olarak buna müsaade eder.
• Başka bir deyişle; zar klasik bir obje olmasına rağmen havaya atıldığında misal 6 (şeş) gelme ‘olasılığından’ bahsediyor olmamız, tamamen yetersiz bilgi ve hassas olmayan hesaplamalarla ilgilidir, zarla veya onun doğası ile ilgili değil.
• Özetle, klasik bir sistemin durumlar uzayı, bir kümedir: noktalar kümesi. Ancak kuantum mekaniğinde durumlar uzayı bir küme belirtmez. Neden mi? Alıştırma-2 olarak bırakıyorum bu soruyu.
• Kuantum mekaniğinde bir sistemi betimlediğimiz faz uzayı, özel bir tür Hilbert Uzayıdır: Üzerinde bir iç çarpım fonksiyonu tanımlanmış, kompleks bir vektör uzayıdır. Tahmin ettiğiniz gibi, pek bir soyuttur.
• Böyle bir vektör uzayının cebirsel özellikleri hakkında uzun uzadıya yazmayacağım. Aslında bunu yapsak çok güzel olurdu ama maalesef asıl konu kuantum mekaniği olduğu için salt matematiksel arkaplanı gözardı edip konumuza nasıl yansıdığına bakacağız.
• Az önce bahsettiğimiz bu özel tür Hilbert Uzayının cebirsel özelliklerini Kuantum Mekaniğinde ifade ederken Dirac gösterimlerine başvuracağız.
• H, tanımlamış olduğumuz Hilbert uzayı olmak üzere, H içinde bir A vektörüne “A ket vektörü” diyeceğiz ve onu |A⟩ olarak göstereceğiz. Her vektörün olduğu gibi, ket vektörünün de bileşenleri vardır ve bunlar kompleks sayılardır.